Расчет токов в экранах кабельных линий: формулы, схемы, примеры

Содержание страницы

1. Общий подход к определению токов и напряжений в экранах
2. Анализ симметричных режимов работы
3. Анализ несимметричных режимов методом симметричных составляющих
4. Основные расчетные случаи: Выбор наихудшего сценария
5. Итоговые формулы для расчета индуктированных величин
6. Практический пример расчета индуктированных напряжений
7. Интересные факты о физике кабельных экранов
8. Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Заключение и выводы

Проектирование современных кабельных линий (КЛ) высокого и сверхвысокого напряжения — это сложная инженерная задача, выходящая далеко за рамки простого выбора сечения токопроводящей жилы. С переходом энергетики от маслонаполненных кабелей к кабелям с изоляцией из сшитого полиэтилена (СПЭ), вопросы электромагнитной совместимости и термической стойкости экранов встали особенно остро.

В нормальном и аварийном режимах работы переменное электромагнитное поле, создаваемое током жилы, пронизывает металлический экран кабеля. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это приводит к возникновению продольной электродвижущей силы (ЭДС). Если экран заземлен с двух сторон, в нем возникают циркулирующие токи, сопоставимые по величине с токами жилы, что ведет к недопустимому перегреву и снижению пропускной способности линии. Если же экран разземлен (или заземлен с одной стороны), на его незаземленном конце наводится потенциал, который может достигать десятков киловольт, представляя смертельную опасность для персонала и угрозу пробоя оболочки.

Экспертная справка: Согласно статистике эксплуатации КЛ 110-500 кВ, более 30% отказов кабельных линий связаны не с повреждением основной изоляции, а с термическим разрушением или пробоем оболочки из-за некорректно выбранной схемы заземления экранов или ошибок в расчете наведенных перенапряжений.

Настоящий материал представляет собой теоретическое и практическое руководство, посвященное электромагнитным переходным процессам в экранах силовых кабельных линий. Мы рассмотрим физику возникновения наведенных потенциалов и циркулирующих токов, опираясь на фундаментальные законы электродинамики и теорию цепей. Основное внимание уделено математическому аппарату метода симметричных составляющих, который является стандартом де-факто в инженерных расчетах релейной защиты и электромагнитной совместимости.

1. Общий подход к определению токов и напряжений в экранах

Фундаментальный принцип расчета электромагнитных процессов в экранах кабелей заключается в раздельном анализе режимов работы сети. Для получения достоверной картины распределения токов и напряжений необходимо рассматривать:

Нормальный установившийся режим: характеризуется симметричной нагрузкой и длительным протеканием токов.
Аварийные режимы (Короткие замыкания — КЗ): внешние КЗ, возникающие в сети вне рассматриваемого кабеля, сопровождающиеся протеканием сверхтоков через жилы.

Базовым уравнением для связи токов в жилах ($I_{ЖА}, I_{ЖВ}, I_{ЖС}$) с наведенными величинами в экранах является система уравнений Максвелла, адаптированная для длинных линий. Зная векторные значения токов в жилах, с использованием математической модели, описанной в предыдущем материале, инженеры могут определить токи и напряжения в экранах фаз «А», «В», «С».

Аналогия для понимания:
Представьте кабельную линию как участок скоростного трубопровода. Токи в жилах — это поток воды, создаваемый насосной станцией (энергосистемой) и потребляемый городом (нагрузкой). Давление на стенки трубы (напряжение на экране) и вибрация трубы (токи в экране) зависят от того, какой напор дает насос и как открыты задвижки у потребителя. Мы не можем рассчитать вибрацию трубы, не зная скорости потока внутри неё. Поэтому сначала мы считаем гидравлику всей сети (внешняя цепь), и только потом — механику самой трубы (экраны).

Для нахождения фазных токов жилы $\dot{I}_{ЖА}, \dot{I}_{ЖВ}, \dot{I}_{ЖС}$ необходимо составить схему замещения электрической сети. Эта схема должна включать не только саму кабельную линию, но и примыкающие элементы энергосистемы. В общем виде, без учета распределенной емкости (что допустимо для предварительных расчетов токов КЗ промышленной частоты), схема сводится к виду, показанному на рисунке 1.

Рис. 1. Расчетная схема сети, содержащей кабельную линию. В качестве примера проиллюстрировано короткое замыкание во внешней сети (за пределами кабеля).

На рисунке 1 схематично изображены две активные «системы», примыкающие к концам кабельной вставки:

Левая система: интерпретируется как питающая энергосистема (источник генерации или главная подстанция).
Правая система: интерпретируется как нагрузка или смежный участок сети.

Параметры, закладываемые в математическую модель для этих систем, должны быть максимально точными. Сопротивления «левой» и «правой» частей рассчитываются исходя из мощности короткого замыкания ($S_{k}$) каждой из систем, режима заземления нейтрали (эффективно-заземленная, изолированная, резистивная), а также наличия токоограничивающих реакторов и трансформаторов. Значения сопротивлений кабеля выбираются в строгом соответствии со способом соединения экранов (см. параметры в Таблице 1).

В качестве ЭДС источника («левой» системы) принимается фазное напряжение сети:
\[ \dot{E}’ = U_{НОМ} / \sqrt{3} \]
где $U_{НОМ}$ — номинальное линейное напряжение сети (например, 110 кВ, 220 кВ). Величина ЭДС «правой» системы $\dot{E}»$ определяется характером нагрузки (активная, индуктивная, наличие двигательной нагрузки и т.д.).

Таблица 1. Комплексные сопротивления элементов расчетной схемы (к рис. 1)

В таблице ниже приняты следующие обозначения: индекс «1» — прямая последовательность, «2» — обратная, «0» — нулевая. Индекс «Zh» относится к жиле, «E» — к эквивалентной системе.

Элемент схемы	Сопротивление прямой последовательности $ Z_1 $	Сопротивление обратной последовательности $ Z_2 $	Сопротивление нулевой последовательности $ Z_0 $
Питающая сеть («Левая система»)	$\dot{Z}’_1 = R’_1 + jX’_1$ Импеданс системы до начала кабеля.	$\dot{Z}’_2 \approx \dot{Z}’_1$ Для статических элементов (ЛЭП, трансформаторы) они равны. Для генераторов $ Z_2 \neq Z_1 $.	$\dot{Z}’_0 = R’_0 + jX’_0$ Зависит от режима заземления нейтрали трансформаторов.
Кабельная линия (Трехфазная группа)	$\dot{Z}_{cab1} = \dot{Z}_{Zh1} \cdot L$ $ L $ — длина линии.	$\dot{Z}_{cab2} = \dot{Z}_{cab1}$	$\dot{Z}_{cab0} = \dot{Z}_{Zh0} \cdot L$ Включает путь возврата тока через землю/экран.
Нагрузка / Внешняя сеть («Правая система»)	$\dot{Z}»_1 = R»_1 + jX»_1$	$\dot{Z}»_2 \approx \dot{Z}»_1$	$\dot{Z}»_0 = R»_0 + jX»_0$

Примечание: Индекс «К» обозначает погонное сопротивление кабеля (Ом/км), а $L$ — длину кабельной линии в километрах. Равенство сопротивлений прямой и обратной последовательности ($\dot{Z}_1 = \dot{Z}_2$) справедливо для статических элементов сети (линии, трансформаторы), но может нарушаться при наличии вблизи мощных вращающихся машин.

2. Анализ симметричных режимов работы

Симметричные режимы являются наиболее простыми для анализа, так как нагрузка по фазам распределена равномерно, а система векторов токов и напряжений образует правильную звезду. К таким режимам относятся:

Нормальный эксплуатационный режим (передача номинальной мощности).
Трехфазное короткое замыкание (К3) — наиболее тяжелый вид повреждения с точки зрения динамической устойчивости, но симметричный по своей природе.

В нормальном режиме токи в жилах фаз кабеля определяются законом Ома для полной цепи:

\[ \dot{I}_{ЖА} = \frac{\dot{E}’_1 — \dot{E}»_1}{\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}»_1} \]

Учитывая симметрию (сдвиг фаз на 120 градусов), токи в соседних фазах выражаются через оператор поворота $a$:

\[ \dot{I}_{ЖВ} = a^2 \cdot \dot{I}_{ЖА} \]
\[ \dot{I}_{ЖС} = a \cdot \dot{I}_{ЖА} \]

Где оператор поворота (фазовый множитель) определяется как:
\[ a = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{j120^\circ}; \quad a^2 = -\frac{1}{2} — j\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{j240^\circ}; \quad a^3 = 1 \]

В случае возникновения трехфазного короткого замыкания (К3) непосредственно за кабельной линией, сопротивление нагрузки шунтируется, и формула для тока принимает вид:

\[ \dot{I}_{ЖА} = \frac{\dot{E}’_1}{\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1} \]

Соотношения для фаз B и C остаются прежними ($\dot{I}_{ЖВ} = a^2 \dot{I}_{ЖА}$, $\dot{I}_{ЖС} = a \dot{I}_{ЖА}$). Этот режим важен для проверки термической стойкости экранов, особенно если они заземлены с двух сторон.

3. Анализ несимметричных режимов методом симметричных составляющих

В реальной эксплуатации подавляющее большинство повреждений (до 80-90%) носит несимметричный характер. Для анализа таких режимов в инженерной практике повсеместно применяется метод симметричных составляющих (МСС). Суть метода заключается в разложении любой несимметричной системы трехфазных векторов на три симметричные системы:

Прямая последовательность (индекс 1): порядок чередования фаз A-B-C (совпадает с вращением генераторов).
Обратная последовательность (индекс 2): порядок чередования A-C-B.
Нулевая последовательность (индекс 0): векторы совпадают по фазе и величине.

К основным видам несимметричных КЗ относятся:

Однофазное короткое замыкание на землю — $K^{(1)}$;
Двухфазное короткое замыкание на землю — $K^{(1,1)}$;
Двухфазное (междуфазное) короткое замыкание без земли — $K^{(2)}$.

Для расчета составляются схемы замещения для каждой последовательности. Относительно точки короткого замыкания эти схемы сворачиваются до эквивалентных комплексных сопротивлений (см. рис. 2).

Рис. 2. Эквивалентные схемы замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей, свернутые относительно точки КЗ.

Эквивалентные параметры схемы (рис. 2) рассчитываются по следующим формулам, представляющим собой параллельное сложение сопротивлений частей системы слева и справа от точки КЗ:

\[ Z_{1Э} = \frac{(\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1) \cdot \dot{Z}»_1}{(\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1) + \dot{Z}»_1} \]
\[ Z_{2Э} = \frac{(\dot{Z}’_2 + \dot{Z}_2) \cdot \dot{Z}»_2}{(\dot{Z}’_2 + \dot{Z}_2) + \dot{Z}»_2} \]
\[ Z_{0Э} = \frac{(\dot{Z}’_0 + \dot{Z}_0) \cdot \dot{Z}»_0}{(\dot{Z}’_0 + \dot{Z}_0) + \dot{Z}»_0} \]

Эквивалентная ЭДС прямой последовательности рассчитывается как напряжение в точке КЗ в доаварийном режиме (или упрощенно по формуле делителя напряжения):

\[ E_{1Э} = E’_1 \cdot \frac{\dot{Z}»_1}{\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}»_1} \]

Объединение схем последовательностей

Уникальность метода симметричных составляющих заключается в том, что схемы разных последовательностей объединяются между собой определенным образом в зависимости от вида повреждения. Место объединения называется «ответвлением короткого замыкания» (см. рис. 3).

Рис. 3. Схематическое представление места короткого замыкания (ответвление КЗ), где происходит коммутация фаз.

Математическое описание условий в точке КЗ называется граничными условиями. Они приведены в таблице 2.

Таблица 2. Граничные условия при расчетах несимметричных коротких замыканий

Вид КЗ	Особые (поврежденные) фазы	Граничные условия по напряжению	Граничные условия по току
$K^{(1)}$ (Однофазное)	Фаза «А»	$\dot{U}_{KA} = 0$	$\dot{I}_{KB} = 0$, $\dot{I}_{KC} = 0$
$K^{(1,1)}$ (Двухфазное на землю)	Фазы «В», «С»	$\dot{U}_{KB} = 0$, $\dot{U}_{KC} = 0$	$\dot{I}_{KA} = 0$
$K^{(2)}$ (Двухфазное)	Фазы «В», «С»	$\dot{U}_{KB} = \dot{U}_{KC}$	$\dot{I}_{KA} = 0$, $\dot{I}_{KB} + \dot{I}_{KC} = 0$

Используя матрицы преобразования, можно связать фазные величины с их симметричными составляющими:

\[ \dot{U}_{KA} = \dot{U}_{KA1} + \dot{U}_{KA2} + \dot{U}_{KA0} \]
\[ \dot{I}_{KA} = \dot{I}_{KA1} + \dot{I}_{KA2} + \dot{I}_{KA0} \]

Обратные преобразования для фаз B и C включают операторы поворота:
\[ \dot{I}_{KB} = a^2 \dot{I}_{KA1} + a \dot{I}_{KA2} + \dot{I}_{KA0} \]
\[ \dot{I}_{KC} = a \dot{I}_{KA1} + a^2 \dot{I}_{KA2} + \dot{I}_{KA0} \]

На основе этих преобразований формируются правила соединения схем замещения, представленные в таблице 3. Это ключевой этап для инженера-расчетчика, позволяющий свести сложную трехфазную задачу к набору однофазных цепей.

Таблица 3. Несимметричные короткие замыкания и соединение схем последовательностей

Вид КЗ	Условия для составляющих	Тип соединения схем
$K^{(1)}$	$\dot{I}_{KA1} = \dot{I}_{KA2} = \dot{I}_{KA0}$ $\dot{U}_{KA1} + \dot{U}_{KA2} + \dot{U}_{KA0} = 0$	Все три схемы ($Z_1, Z_2, Z_0$) соединяются последовательно.
$K^{(1,1)}$	$\dot{U}_{KA1} = \dot{U}_{KA2} = \dot{U}_{KA0}$ $\dot{I}_{KA1} + \dot{I}_{KA2} + \dot{I}_{KA0} = 0$	Все три схемы соединяются параллельно.
$K^{(2)}$	$\dot{U}_{KA1} = \dot{U}_{KA2}$ $\dot{I}_{KA1} + \dot{I}_{KA2} = 0$ $\dot{I}_{KA0} = 0$	Схемы прямой и обратной последовательности соединяются параллельно (встречно), схема нулевой последовательности разомкнута.

Результирующие формулы для расчета токов и напряжений в месте повреждения («пауке» КЗ) сведены в таблицу 4. Эти значения являются исходными данными для обратного пересчета токов, протекающих непосредственно по жилам кабеля.

Таблица 4. Токи и напряжения ответвления короткого замыкания

Вид КЗ	Расчетные формулы
$K^{(1)}$	\[ \dot{I}_{KA1} = \dot{I}_{KA2} = \dot{I}_{KA0} = \frac{E_{1Э}}{Z_{1Э} + Z_{2Э} + Z_{0Э}} \] Напряжения определяются как падения напряжения в соответствующих схемах.
$K^{(1,1)}$	\[ \dot{I}_{KA1} = \frac{E_{1Э}}{Z_{1Э} + \frac{Z_{2Э} \cdot Z_{0Э}}{Z_{2Э} + Z_{0Э}}} \] Токи обратной и нулевой последовательностей распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям (со знаком минус).
$K^{(2)}$	\[ \dot{I}_{KA1} = -\dot{I}_{KA2} = \frac{E_{1Э}}{Z_{1Э} + Z_{2Э}} \] Нулевая составляющая отсутствует: $\dot{I}_{KA0} = 0$.

Важно: После нахождения токов в месте КЗ, необходимо «развернуть» схему обратно к виду рис. 1, чтобы найти истинные токи в жилах кабеля $\dot{I}_{ЖА1}, \dot{I}_{ЖА2}, \dot{I}_{ЖА0}$. Именно они индуктируют ЭДС в экранах.

Токи прямой, обратной и нулевой последовательностей, протекающие через жилу фазы А кабеля, определяются по закону Кирхгофа:

\[ \dot{I}_{ЖА1} = \frac{E’_1 — \dot{U}_{KA1}}{\dot{Z}’_1 + \dot{Z}_1} \]
\[ \dot{I}_{ЖА2} = \frac{-\dot{U}_{KA2}}{\dot{Z}’_2 + \dot{Z}_2} \]
\[ \dot{I}_{ЖА0} = \frac{-\dot{U}_{KA0}}{\dot{Z}’_0 + \dot{Z}_0} \]

И, наконец, полный ток в жилах находится суммированием:
\[ \dot{I}_{ЖА} = \dot{I}_{ЖА1} + \dot{I}_{ЖА2} + \dot{I}_{ЖА0} \]
\[ \dot{I}_{ЖВ} = a^2 \dot{I}_{ЖА1} + a \dot{I}_{ЖА2} + \dot{I}_{ЖА0} \]
\[ \dot{I}_{ЖС} = a \dot{I}_{ЖА1} + a^2 \dot{I}_{ЖА2} + \dot{I}_{ЖА0} \]

4. Основные расчетные случаи: Выбор наихудшего сценария

Для инженера важно не просто уметь считать все режимы, но и понимать, какой из них является определяющим (расчетным) для выбора оборудования. Проведение полного анализа всех возможных комбинаций КЗ для каждого кабеля трудоемко и нецелесообразно. Необходимо выделить наиболее тяжелые условия.

Критерием выбора является максимальное индуктированное напряжение на незаземленном конце экрана (при одностороннем заземлении) или максимальный ток в экране (при двухстороннем заземлении).

Рассмотрим случай одностороннего заземления экранов (рис. 2.5 из общей схемы проекта). При этом токи в экранах отсутствуют ($\dot{I}_{Э} = 0$), так как цепь разомкнута. Напряжение на разземленном конце фазы А относительно земли описывается уравнением:

\[ \dot{U}_{ЭА} = \dot{Z}_{ЖЭ} \dot{I}_{ЖА} + \dot{Z}_{К} \dot{I}_{ЖВ} + \dot{Z}_{К} \dot{I}_{ЖС} \]

Где $\dot{Z}_{ЖЭ}$ — сопротивление взаимоиндукции «жила-экран», а $\dot{Z}_{К}$ — сопротивление взаимоиндукции между кабелями разных фаз.
Анализ таблицы 5 показывает, как меняются коэффициенты при токах жилы в зависимости от вида повреждения.

Таблица 5. Напряжение на разземленном конце экрана относительно земли

Режим	Особенности и допущения	Формула напряжения (для фазы А)
Нормальный	Сумма токов равна нулю: $\Sigma I = 0$	$\dot{U}_{ЭА} = (\dot{Z}_{ЖЭ} — \dot{Z}_{К}) \dot{I}_{ЖА}$
К(1) в фазе А	$I_{ЖB}=0, I_{ЖC}=0$	$\dot{U}_{ЭА} = \dot{Z}_{ЖЭ} \dot{I}_{ЖА}$ (Максимальный коэффициент)
К(1,1) в фазах В,С	$I_{ЖА}=0$, наличие тока в земле	$\dot{U}_{ЭА} = \dot{Z}_{К} \dot{I}_{З}$
К(2) в фазах В,С	$I_{ЖА}=0, I_{ЖВ} = -I_{ЖС}$	$\dot{U}_{ЭА} = 0$ (теоретически)
К(3)	Симметричная система токов	$\dot{U}_{ЭА} = (\dot{Z}_{ЖЭ} — \dot{Z}_{К}) \dot{I}_{ЖА}$

Анализ таблицы 5:

В сетях 110-500 кВ (эффективно заземленная нейтраль) токи однофазного КЗ ($I^{(1)}$) велики и сопоставимы с токами трехфазного КЗ. Поскольку коэффициент взаимоиндукции $Z_{ЖЭ}$ значительно больше разности $(Z_{ЖЭ} — Z_{К})$, режим $K^{(1)}$ является наихудшим. Именно по нему выбираются ОПН (ограничители перенапряжений) оболочки.
В сетях 6-35 кВ (изолированная/резистивная нейтраль) токи замыкания на землю малы (единицы-десятки ампер). Здесь определяющим становится режим двойного замыкания на землю или трехфазного КЗ ($K^{(3)}$), так как токи КЗ в этих режимах максимальны (килоамперы).

Таблица 6. Итоговые основные расчетные случаи

Класс напряжения / Нейтраль	Схема экранов	Расчетный случай №1 (Длительный)	Расчетный случай №2 (Кратковременный)
6-35 кВ (Изолированная, компенсир.)	Одностороннее заземление или Транспозиция	Нормальный режим	Трехфазное КЗ ($K^{(3)}$)
110-500 кВ (Глухозаземленная)	Одностороннее заземление	Нормальный режим	Однофазное КЗ ($K^{(1)}$)
110-500 кВ	Транспозиция экранов (Cross-bonding)	Нормальный режим	Трехфазное КЗ ($K^{(3)}$)*

*Примечание: При идеальной транспозиции ЭДС от токов прямой последовательности компенсируются в узлах, однако при внешних КЗ токи могут быть настолько велики, что даже остаточные напряжения становятся опасными. Для $K^{(1)}$ при транспозиции напряжения ниже, чем при одностороннем заземлении.

5. Итоговые формулы для расчета индуктированных величин

Для практического использования инженерами-проектировщиками ниже приведены сведенные формулы, учитывающие специфику граничных условий (Таблица 7) и геометрию прокладки.

Таблица 7. Дополнительные условия для расчетов

Решаемая задача	Условия симметрии
Симметричный режим (Норм. или К3)	$\dot{I}_{ЖА} + \dot{I}_{ЖВ} + \dot{I}_{ЖС} = 0$ $\dot{I}_{ЭА} + \dot{I}_{ЭВ} + \dot{I}_{ЭС} = 0$
Однофазное КЗ (К1) фазы А	$\dot{I}_{ЖА} \gg \dot{I}_{ЖВ}, \dot{I}_{ЖС}$ Допущение: $\dot{I}_{ЖВ} \approx 0, \dot{I}_{ЖС} \approx 0$

В таблице 8 представлены формулы для расчета максимального напряжения на оболочке. Это ключевой параметр для выбора класса изоляции оболочки (обычно испытательное напряжение оболочки составляет 10 кВ постоянного тока для ввода в эксплуатацию, но импульсные воздействия при КЗ могут быть выше).

Таблица 8. Напряжение (В), наводимое на экран кабеля относительно земли

№	Схема экранов	Симметричный режим ($K^{(3)}$)	Режим однофазного КЗ ($K^{(1)}$)
1	Одностороннее заземление ($L$ — длина секции)	$U = (\dot{Z}_{ЖЭ}^* — \dot{Z}_{К}^*) \cdot I_{Ж} \cdot L$	$U = \dot{Z}_{ЖЭ}^* \cdot I_{Ж} \cdot L$
2	Двухстороннее заземление	$\approx 0$ (экран под потенциалом земли)	$\approx 0$ (но протекают большие токи!)
3	Транспозиция ($N$ — число циклов, $L$ — полная длина)	См. примечание ниже* Остаточное напряжение мало.	Снижается в $N$ раз по сравнению с односторонним (грубая оценка).

При использовании формул таблицы 8 под током $I_{Ж}$ следует понимать:

В нормальном режиме — номинальный ток нагрузки (или максимальный рабочий).
При КЗ — периодическую составляющую тока короткого замыкания, протекающего через кабель к месту аварии.

Важное замечание по транспозиции: Как следует из анализа, при транспозиции (cross-bonding) эффективность снижения перенапряжений при КЗ различна для разных видов повреждений. При трехфазном КЗ симметричные токи индуцируют ЭДС, которые в идеальном цикле транспозиции суммируются векторно в ноль. Однако при однофазном КЗ (несимметрия) полной компенсации не происходит, но за счет секционирования напряжение на каждой отдельной секции значительно ниже, чем было бы на целой длине.

Таблица 9. Токи в экранах фаз кабеля (А)

Расчет токов в экранах критически важен для выбора сечения экрана по термической стойкости. Если экран не выдержит ток КЗ, кабель выйдет из строя.

№	Схема	Формула (Симметричный режим)	Формула (Однофазное КЗ)
1	Одностороннее	$I_Э \approx 0$ (только емкостные токи утечки через изоляцию экрана)	$I_Э \approx 0$ (емкостными пренебрегаем по сравнению с токами КЗ)
2	Двухстороннее	\[ \dot{I}_{ЭА} = — \frac{\dot{Z}_{ЖЭ}^* — \dot{Z}_{К}^}{\dot{Z}_{Э}^ — \dot{Z}_{К}^*} \cdot \dot{I}_{ЖА} \] Ток в экране направлен встречно току жилы и составляет 50-90% от него.	\[ \dot{I}_{ЭА} = — \frac{\dot{Z}_{ЖЭ}^}{\dot{Z}_{Э}^} \cdot \dot{I}_{ЖА} \] Почти весь ток КЗ возвращается через экран (эффект отсасывающего трансформатора).
3	Транспозиция	Токи циркуляции подавлены (близки к нулю).	Аналогично случаю двухстороннего заземления, но сопротивление контура выше.

6. Практический пример расчета индуктированных напряжений

Рассмотрим реальный пример расчета напряжений на экранах кабельной линии 110 кВ. Данный пример демонстрирует применение формул из Таблицы 8 и методики оценки допустимости выбранной схемы заземления.

Исходные данные для расчета

Рассматривается кабельная линия номинальным напряжением 110 кВ, выполненная одножильными кабелями с изоляцией из сшитого полиэтилена (СПЭ).

Параметр	Обозначение	Значение
Марка кабеля	—	АПвПу 1х630/95 64/110 кВ
Длина линии (секции)	$L$	1.2 км
Схема прокладки	—	Треугольником (вплотную)
Средний диаметр экрана кабеля	$d_{cp}$	68 мм ($r_{cp} = 0.034$ м)
Расстояние между центрами жил	$S$	75 мм ($0.075$ м) (с учетом толщины оболочки)
Ток нагрузки (нормальный режим)	$I_{раб}$	630 А
Ток однофазного КЗ (внешнее)	$I_{к}^{(1)}$	25 кА
Схема заземления экранов	—	Одностороннее (ОЗЭ)

Шаг 1. Определение удельного сопротивления взаимоиндукции

Поскольку кабели проложены треугольником вплотную, система является симметричной. В этом случае реактивное сопротивление взаимоиндукции на единицу длины ($\dot{Z}_{ЖЭ}^*$) можно рассчитать по классической формуле для удельного индуктивного сопротивления:

\[ X_{уд} = \omega \cdot \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \ln\left( \frac{S}{r_{cp}} \right) \]

Где:

$\omega = 2\pi f = 314$ рад/с (угловая частота сети 50 Гц);
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м (магнитная постоянная).

Подставим значения:

\[ X_{уд} = 314 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot \ln\left( \frac{0.075}{0.034} \right) \]
\[ X_{уд} = 628 \cdot 10^{-7} \cdot \ln(2.205) \approx 6.28 \cdot 10^{-5} \cdot 0.79 \approx 0.5 \cdot 10^{-4} \text{ Ом/м} \]
\[ X_{уд} \approx 0.05 \text{ Ом/км} \]

Примечание: В реальных условиях прокладки «треугольником» коэффициент взаимоиндукции часто принимается выше (около 0.1–0.12 Ом/км) из-за несовершенства укладки и влияния земли. Для запаса надежности в данном примере примем табличное значение для кабеля 110 кВ данного сечения: $X_{уд} = 0.12$ Ом/км.

Шаг 2. Расчет напряжения в нормальном режиме

В нормальном режиме работы при симметричной нагрузке напряжение на незаземленном конце экрана рассчитывается по формуле (см. Табл. 8, п.1):

\[ U_{э.норм} = I_{раб} \cdot X_{уд} \cdot L \]

\[ U_{э.норм} = 630 \cdot 0.12 \cdot 1.2 = 90.72 \text{ В} \]

Проверка по ПУЭ: Согласно действующим нормам (ПУЭ 7-е изд.), напряжение на экране в нормальном режиме не должно превышать 50 В (при наличии доступа персонала без средств защиты) или 100 В (при условии закрытия доступа и обслуживания квалифицированным персоналом).
Вывод: Значение 90.7 В допустимо только при условии защиты концевых муфт кожухами и отсутствия случайного прикосновения.

Шаг 3. Расчет напряжения при однофазном КЗ (К1)

Режим однофазного короткого замыкания является расчетным для проверки целостности оболочки кабеля. Ток КЗ ($25$ кА) протекает по жиле поврежденной фазы и возвращается через землю/нейтраль, индуцируя максимальную ЭДС в петле «экран-земля».

\[ U_{э.кз} = I_{к}^{(1)} \cdot X_{уд} \cdot L \]

\[ U_{э.кз} = 25000 \cdot 0.12 \cdot 1.2 = 3600 \text{ В} = 3.6 \text{ кВ} \]

Анализ результата:
Полученное значение 3.6 кВ воздействует на оболочку кабеля и ограничитель перенапряжений (ОПН) в течение времени отключения КЗ (обычно 0.1–0.2 сек).

Испытательное напряжение оболочки кабеля 110 кВ обычно составляет 10 кВ (постоянного тока) или 5 кВ (импульс).
Значение 3.6 кВ является безопасным для целостности полиэтиленовой оболочки кабеля, так как оно ниже пробивного напряжения.

Важно: Для защиты оболочки на незаземленном конце обязательно устанавливается ОПН (ограничитель перенапряжений нелинейный). Класс напряжения ОПН выбирается таким образом, чтобы он не срабатывал при 3.6 кВ (напряжение промышленной частоты), но срезал грозовые и коммутационные импульсы, которые могут быть значительно выше. В данном случае подойдет ОПН с номинальным напряжением $U_{нр} \ge 4$ кВ.

Выводы по примеру

При длине секции 1.2 км и токе 630 А схема одностороннего заземления находится на пределе допустимого по условиям электробезопасности в нормальном режиме (90 В). Рекомендуется либо сократить длину секции, либо применить транспозицию экранов.
В режиме КЗ напряжение на оболочке (3.6 кВ) не превышает критических значений, термического разрушения или пробоя оболочки не произойдет, при условии исправности защитных устройств (ОПН).

7. Интересные факты о физике кабельных экранов

Эффект трансформатора. Кабельная линия с заземленными с двух сторон экранами фактически представляет собой воздушный трансформатор с коэффициентом связи близким к единице, где жила — это первичная обмотка, а экран — вторичная, замкнутая накоротко. Ток в экране при этом может достигать 80-90% от тока жилы.
Цена беспечности. Если на линии 110 кВ длиной 10 км ошибочно заземлить экраны с двух сторон вместо применения транспозиции, потери активной мощности в экранах могут превысить потери в самих токопроводящих жилах, что снизит пропускную способность линии в 2 раза.
Импульсная скорость. При коротком замыкании электромагнитная волна перенапряжения распространяется по экрану кабеля со скоростью, близкой к скорости света (около 150-170 тыс. км/с для кабелей СПЭ), мгновенно нагружая изоляцию оболочки по всей длине.
Историческая эволюция. В старых маслонаполненных кабелях свинцовая оболочка имела гораздо большее электрическое сопротивление, чем современные медные экраны кабелей из сшитого полиэтилена. Это парадоксальным образом делало проблему индуктированных токов менее острой, но свинцовые оболочки были экологически небезопасны и механически ненадежны.
Оптоволоконный контроль. Современные экраны высоковольтных кабелей часто конструктивно совмещаются с оптическим модулем. Это позволяет использовать экран не только для возврата токов КЗ, но и как распределенный датчик температуры (DTS), измеряющий нагрев от индуктированных токов с точностью до 1 метра.
Коварство «треугольника». При прокладке кабелей «треугольником» вплотную индуктивное сопротивление взаимоиндукции минимально. Однако, если раздвинуть кабели всего на 10-20 см друг от друга (в плоскости), наводимое на экранах напряжение вырастет в разы из-за увеличения потокосцепления.
Грозовой магнит. Экран кабеля, даже проложенного под землей, может работать как антенна для грозовых разрядов, ударивших в землю неподалеку. Именно поэтому ограничители перенапряжений (ОПН) на оболочке обязаны гасить не только коммутационные перенапряжения сети, но и атмосферные импульсы, проникающие через грунт.

8. Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Почему нельзя просто заземлить экран с двух сторон на всех линиях, чтобы не было напряжения на оболочке?

Заземление с двух сторон создает замкнутый контур «экран-земля-экран», в котором индуктируется мощный циркулирующий ток. Этот ток вызывает паразитный нагрев экрана. Для кабелей 6-35 кВ это часто допустимо, но для линий 110 кВ и выше потери становятся колоссальными, перегревая изоляцию и снижая допустимый ток нагрузки на 30–50%, что экономически нецелесообразно.

2. Что произойдет, если выйдет из строя (перегорит) ограничитель перенапряжений (ОПН) экрана?

Если ОПН выйдет из строя в режим «короткого замыкания» (тепловой пробой), экран окажется глухо заземлен в этой точке. Это приведет к появлению нерасчетных циркулирующих токов и перегреву кабеля. Если же ОПН разрушится в «обрыв», то при следующем внешнем КЗ или грозовом импульсе изоляция оболочки может быть пробита высоким напряжением, что приведет к проникновению влаги и коррозии экрана.

3. Зависит ли величина наведенного напряжения от глубины прокладки кабеля?

Напрямую глубина прокладки слабо влияет на величину продольной ЭДС, индуктируемой током жилы. Однако глубина влияет на удельное сопротивление земли и теплоотвод. Косвенно, более глубокая прокладка может изменить растекание токов в земле при КЗ, но при расчете напряжения на экране ($U = I \cdot Z_{вз}$) определяющим фактором является расстояние между фазами и ток жилы, а не глубина траншеи.

4. Можно ли делать транспозицию экранов на кабелях среднего напряжения (10-35 кВ)?

Технически это возможно, но экономически редко оправдано. Стоимость специальных муфт с разрывом экрана и коробок транспозиции (cross-bonding) высока. В сетях 10-35 кВ токи нагрузки обычно ниже, чем в сетях 110 кВ+, поэтому проще использовать кабель с увеличенным сечением жилы и двухсторонним заземлением экранов, либо одностороннее заземление для коротких длин.

5. Как влияет транспозиция на определение места повреждения (ОМП) кабеля?

Транспозиция значительно усложняет процесс ОМП. Традиционные импульсные методы могут давать ложные отражения от узлов транспозиции. Кроме того, при поиске повреждения оболочки нужно разъединять перемычки в коробках транспозиции, чтобы прозванивать каждую секцию отдельно. Это требует наличия колодцев доступа и точных исполнительных схем линии.

Заключение и выводы

Представленная методика является фундаментальной базой для проектирования кабельных линий. Она показывает, что выбор схемы соединения экранов (одностороннее, двухстороннее, транспозиция) — это всегда компромисс:

Двухстороннее заземление устраняет перенапряжения, но создает огромные токи в экранах, снижая пропускную способность кабеля на 30-50% и требуя увеличения сечения экрана.
Одностороннее заземление позволяет использовать кабель на 100% мощности, но создает риски пробоя оболочки импульсом перенапряжения при КЗ.
Транспозиция является «золотой серединой» для длинных линий 110 кВ и выше, минимизируя токи и удерживая напряжения в допустимых пределах (обычно до 5 кВ при КЗ согласно ГОСТ).

Современные программные комплексы (EMTP-RV, PSCAD, ETAP) используют именно эти алгоритмы, но понимание физики процесса, описанной в данной главе, необходимо инженеру для верификации машинных расчетов и принятия правильных технических решений.

Нормативные документы

ПУЭ (7-е издание). «Правила устройства электроустановок».
Глава 1.7 «Заземление и защитные меры электробезопасности» и Глава 2.3 «Кабельные линии напряжением до 220 кВ». Базовый документ, регламентирующий допустимые напряжения прикосновения и общие требования к заземлению.
ГОСТ Р 55025-2012. «Кабели силовые с пластмассовой изоляцией на номинальное напряжение от 6 до 35 кВ включительно. Общие технические условия».
Устанавливает требования к конструкции экранов и их термической стойкости.
СТО 56947007-29.060.20.071-2011 (ФСК ЕЭС). «Силовые кабельные линии напряжением 110-500 кВ. Организация эксплуатации и технического обслуживания. Нормы и требования». Основной отраслевой стандарт, содержащий методики выбора ОПН для экранов и схемы транспозиции.
IEC 60287-1-1. «Electric cables – Calculation of the current rating».

Список рекомендуемой литературы

Дмитриев М.В. «Заземление экранов однофазных силовых кабелей 6-500 кВ». — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010.
Ципулев И.В., Кужеков С.Л. «Особенности выполнения защиты от замыканий на землю в кабельных сетях с изоляцией из сшитого полиэтилена». — Журнал «Электрические станции», №5, 2007.
Титков В.В., Дудкин С.М. «Индуктированные токи и напряжения в экранах кабелей высокого напряжения при несимметричных режимах». — Труды конференции «Кабели-2015».
George J. Anders. «Rating of Electric Power Cables: Ampacity Computations for Transmission, Distribution, and Industrial Applications». — IEEE Press, 1997.

Вид КЗ	Особые (поврежденные) фазы	Граничные условия по напряжению	Граничные условия по току
\(K^{(1)}\) (Однофазное)	Фаза «А»	\(\dot{U}_{KA} = 0\)	\(\dot{I}_{KB} = 0\), \(\dot{I}_{KC} = 0\)
\(K^{(1,1)}\) (Двухфазное на землю)	Фазы «В», «С»	\(\dot{U}_{KB} = 0\), \(\dot{U}_{KC} = 0\)	\(\dot{I}_{KA} = 0\)
\(K^{(2)}\) (Двухфазное)	Фазы «В», «С»	\(\dot{U}_{KB} = \dot{U}_{KC}\)	\(\dot{I}_{KA} = 0\), \(\dot{I}_{KB} + \dot{I}_{KC} = 0\)

Вид КЗ	Условия для составляющих	Тип соединения схем
\(K^{(1)}\)	\(\dot{I}_{KA1} = \dot{I}_{KA2} = \dot{I}_{KA0}\) \(\dot{U}_{KA1} + \dot{U}_{KA2} + \dot{U}_{KA0} = 0\)	Все три схемы (\(Z_1, Z_2, Z_0\)) соединяются последовательно.
\(K^{(1,1)}\)	\(\dot{U}_{KA1} = \dot{U}_{KA2} = \dot{U}_{KA0}\) \(\dot{I}_{KA1} + \dot{I}_{KA2} + \dot{I}_{KA0} = 0\)	Все три схемы соединяются параллельно.
\(K^{(2)}\)	\(\dot{U}_{KA1} = \dot{U}_{KA2}\) \(\dot{I}_{KA1} + \dot{I}_{KA2} = 0\) \(\dot{I}_{KA0} = 0\)	Схемы прямой и обратной последовательности соединяются параллельно (встречно), схема нулевой последовательности разомкнута.

№	Схема экранов	Симметричный режим (\(K^{(3)}\))	Режим однофазного КЗ (\(K^{(1)}\))
1	Одностороннее заземление (\(L\) — длина секции)	\(U = (\dot{Z}_{ЖЭ}^* — \dot{Z}_{К}^*) \cdot I_{Ж} \cdot L\)	\(U = \dot{Z}_{ЖЭ}^* \cdot I_{Ж} \cdot L\)
2	Двухстороннее заземление	\(\approx 0\) (экран под потенциалом земли)	\(\approx 0\) (но протекают большие токи!)
3	Транспозиция (\(N\) — число циклов, \(L\) — полная длина)	См. примечание ниже* Остаточное напряжение мало.	Снижается в \(N\) раз по сравнению с односторонним (грубая оценка).